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수학5

(집합론) 동치관계와 집합의 분할 1. 관계 관계는 곱집합 $A\times B$의 부분 집합입니다. 명제함수 $P(x,y)$에 대해 다음과 같은 형식으로 나타냅니다. $$ R=((x,y) | x\in X,~y\in Y,~P(x,y)) $$ 원소의 튜플이 이 부분 집합에 속하는지 여부를 통해 원소들 사이의 관계를 나타냅니다. 예를 들어 $X=\{6,8\},~Y=\{2,3\},~P(x,y):$ "$x$는 $y$의 배수이다." 일 때, $X\times Y = \{(6,2),(6,3),(8,2),(8,3)\}$이므로 $R=\{(6,2),(6,3),(8,2)\}$입니다. 또한 이 예시처럼 관계가 즉 두 집합의 곱집합의 부분 집합이라면 그 관계를 이항관계라고 부릅니다. (비슷하게 세 집합의 곱집합의 부분 집합이라면 삼항관계라고 합니다.) 특히 두 .. 2022. 9. 4.
(정수론) 소수 간극 1. 소수 간극 $n$번째 소수를 $p_{n}$이라고 합시다. (예를 들어 $p_{2}=3,~p_{3}=5$) 이때 소수 간극 $g_{n}$은 다음과 같이 정의됩니다. $$g_{n}:=p_{n+1}-p_{n}$$ 즉, 소수 간극은 인접한 두 소수의 간격입니다. 임의로 큰 소수 간격이 존재함을 보일 수 있습니다. 어떤 소수 $P$에 대해 $P\#$을 $2$부터 $P$까지의 모든 소수를 곱한 것이라 합시다. 그러면, $$P\#+2,~P\#+3,~P\#+4,~\cdots ,P\#+P$$ 는 모두 $P$이하의 소수의 배수가 되므로 합성수입니다. 따라서 임의의 소수 $P$에 대해 $P$ 보다 큰 소수 간극이 항상 존재합니다. 이는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다. $$ \limsup_{n \to \infty}g_.. 2022. 8. 5.
(수학 노가리) 0.999...=1인가? 가무한과 실무한에 대하여 1. $0.999\cdots=1$인가? 오래됐지만 최근까지도 불타는 떡밥을 가져와봤습니다. 사실 $0.999\cdots=1$인 이유는 다른 곳에서도 자세히 알 수 있으니 여기선 간단하게만 짚고 넘어갑시다. 다음의 증명은 여기에서 제시한 증명입니다. $$ \begin{align*} 0.999\cdots &=\displaystyle \lim_{n \to \infty}\underbrace{0.99\cdots9}_n \\ &=\displaystyle \lim_{n \to \infty}(1-\underbrace{0.00\cdots1}_n) \\ &=\displaystyle \lim_{n \to \infty}\{1-(\frac{1}{10})^n\} \\ &= 1 \end{align*} $$ 위의 증명과는 다른 방식.. 2022. 8. 1.
(집합론) 집합족과 곱집합 ※수식이 깨질 경우 새로고침해주세요.※ 1. 집합족, 첨수족 집합족은 집합을 원소로 하여 구성된 집합입니다. 주로 $\mathcal F$로 나타냅니다. 일례로, $\mathcal F=\{\{1,2\},\{3\},\{4,5\},\{6\}\}$는 모든 원소가 집합이므로 집합족입니다. 멱집합(어떤 집합의 모든 부분 집합을 원소로 가지는 집합; 중학교 과정이라 다들 웬만하면 아실테지만 그래도 혹시모르니 적어둡니다. . .)은 집합족의 대표적인 예시입니다. 첨수족은 첨수(번호)가 부여된 대상들로 이루어진 집합입니다. 가령 $\{a_{1},a_{2},a_{3}\}$같은 것입니다. 첨수족은 집합족을 표현하는 또다른 방법이 될 수 있습니다. 위의 집합족 $\mathcal F=\{\{1,2\},\{3\},\{4,5\},.. 2022. 7. 22.

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