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수학/정수론1

(정수론) 소수 간극 1. 소수 간극

$n$ 번째 소수를

$p_{n}$ 이라고 합시다. (예를 들어

$p_{2}=3,~p_{3}=5$ ) 이때 소수 간극

$g_{n}$ 은 다음과 같이 정의됩니다.

g n := p n + 1 - p n <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><msub><mi>g</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>n</mi></mrow></msub><mo>:=</mo><msub><mi>p</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mi>p</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>n</mi></mrow></msub></math>

즉, 소수 간극은 인접한 두 소수의 간격입니다. 임의로 큰 소수 간격이 존재함을 보일 수 있습니다. 어떤 소수

$P\#$ 을

$P$ 까지의 모든 소수를 곱한 것이라 합시다. 그러면,

P # + 2, P # + 3, P # + 4, \dots, P # + P <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mi>P</mi><mi mathvariant="normal">#</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mo>,</mo><mtext> </mtext><mi>P</mi><mi mathvariant="normal">#</mi><mo>+</mo><mn>3</mn><mo>,</mo><mtext> </mtext><mi>P</mi><mi mathvariant="normal">#</mi><mo>+</mo><mn>4</mn><mo>,</mo><mtext> </mtext><mo>\dots</mo><mo>,</mo><mi>P</mi><mi mathvariant="normal">#</mi><mo>+</mo><mi>P</mi></math>

$P$ 이하의 소수의 배수가 되므로 합성수입니다. 따라서 임의의 소수

$P$ 보다 큰 소수 간극이 항상 존재합니다. 이는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다. $$ \limsup_{n \to \infty}g_.. 2022. 8. 5.

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